פורטל:מתמטיקה
המתמטיקה מוגדרת לעיתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.
מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.
|
עריכהערכים מומלצים במתמטיקה
עריכהמאמר נבחר
  במתמטיקה ובפרט בטופולוגיה וגאומטריה, אוריינטציה היא מבנה שניתן (לעיתים) להגדיר על אובייקט גאומטרי. בדרך כלל מגדירים את המבנה על יריעה, אך לא על כל יריעה ניתן להגדיר אוריינטציה. יריעה שעליה ניתן להגדיר אוריינטציה נקראת אוריינטבילית. על יריעה אוריינטבילית קשירה ניתן להגדיר בדיוק שתי אוריינטציות. שתי האוריינטציות האלה נקראות מנוגדות (או לעיתים הפוכות). אם מסמנים אחת מהן ב- אז את השנייה מסמנים ב-. יריעה אוריינטבילית שעליה נקבעה אוריינטציה נקראת מכוונת (oriented). המשמעות האינטואיטיבית של אוריינטציה היא כיוון. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על עקום, שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. בממדים גבוהים יותר, מושג האוריינטציה הופך מורכב, אך במקרים מסוימים עדיין ניתן לתארו בצורה אינטואיטיבית. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על משטח במרחב, שקולה לבחירת "צד" של המשטח. כיון שלטבעת מביוס לא ניתן "לבחור צד", היא אינה אוריינטבילית. |
עריכהמומלצי פורטל נוספים
עריכהמתמטיקאי נבחר
 תאלס איש מילטוס (ביוונית: Θαλής), פילוסוף יווני מן האסכולה המילטית, חי בין 624 עד 546 לפנה"ס בקירוב, ותקופת הפריחה שלו בסביבות 590 לפנה"ס. הפילוסוף המוכר הראשון בתולדות הפילוסופיה המערבית. נחשב לאחד משבעת חכמי יוון, ולעיקרי שבהם. עסק באסטרונומיה, גאומטריה וקוסמולוגיה. הוכיח את משפט תאלס, הנקרא על שמו. תאלס נולד במילטוס, אשר באסיה הקטנה (כיום טורקיה). במקצועו היה סוחר שמנים מהמעמד העליון. ערך מסעות רבים באסיה הקטנה ובמצרים, בהם למד רעיונות רבים שהשפיעו על הגותו. הוא עסק, בין השאר, גם בפיתוח יישומים מעשיים לרעיונותיו, כגון מציאת שיטה לקביעת מיקומה של ספינה הנראית מן החוף, אבל את עיקר מחשבתו הקדיש לרעיונות מופשטים כלליים. |
פרדוקס יום ההולדת הוא שמה של תוצאה בתורת ההסתברות לפיה בקבוצה של 23 אנשים או יותר, שנבחרו באקראי, הסיכויים לכך ששניים מהם נולדו באותו יום בשנה עולים על חצי. תוצאה זו אינה פרדוקס במובן המקובל של המילה, שכן אין בה סתירה לוגית, אך היא סותרת את האינטואיציה של מרבית האנשים, הסבורים כי ההסתברות תהיה קטנה בהרבה מחצי משום שמספר הימים שבהם אפשר להוולד גדול בהרבה מ-23. תוצאה זו הינה מקרה פרטי של עובדה כללית יותר, שיש לה חשיבות רבה ביישומים של תורת ההסתברות. אגב, כאשר מספר האנשים בקבוצה עולה ל-50 אנשים שנבחרו באקראי, הסיכויים למציאת שניים שנולדו באותו יום בשנה מטפסים למעל 97%.
הגעתי לתגליות אחדות באנליזה. הראשונה עוסקת בתורת המשוואות, ואחרות בפונקציות אינטגרליות. בתורת המשוואות חקרתי את התנאים לקיום פתרון למשוואה. זה נתן לי הזדמנות להעמיק בתחום זה, ולתאר את הטרנספורמציות שניתן לערוך למשוואה גם כאשר אין לה פתרון. כל זה נמצא כאן בשלושה מאמרים.
— אווריסט גלואה לקראת הדו-קרב בו מצא את מותו, מתאמץ לשמר את מורשתו המתמטית
נתון לוח בצורת ריבוע. בכל פינה של הלוח יש מתג, ובמרכזו יש נורה. הנורה דולקת אם כל המתגים באותו מצב (פתוח/סגור) לא ידוע בכל מתג מה פתוח ומה סגור. בכל פעם מותר להיכנס לחדר ולשנות חלק מהמתגים. אם לאחר מכן הנורה לא נדלקה, יוצאים מהחדר והשולחן מסתובב באופן אקראי. איך אפשר להדליק את הנורה בוודאות?
| פתרון | |
|---|---|
|
|
עריכהאוצרות הרשת
 בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: The MacTutor History of Mathematics archive (באנגלית) MacTutor הוא האתר האולטימטיבי למתעניינים בהיסטוריה של המתמטיקה. האתר מכיל מאות ביוגרפיות של מתמטיקאים, עשרות רבות של ערכים על נושאים בהיסטוריה של המתמטיקה, ערכים על עקומות מפרסמות, אגודות, פרסים ועוד. את האתר הקימו שני סקוטים נדיבים, פרופסורים למתמטיקה באוניברסיטת סנט אנדרוז, ג'ון אוקונור ואדמונד רוברטסון. |
עריכהמדף הספרים
בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום:  יוסי שלוסברג, המלכה והגולם – הרפתקאות מתמטיות ותעלומות מחשב, הוצאת עלו-עט, 2011 הספר כולל אוסף נרחב של סיפורים, אנקדוטות, בעיות וחידות מענפי המתמטיקה ומדעי המחשב. בנוסף לחידות ופתרונותיהן, ניתנים רמזים לסיוע בפתרון חידות קשות. הסיפורים והחידות מקובצים לפי נושאים, ובהם: ורבים אחרים. |
|
משפטים מפורסמים
|
השערות מפורסמות
|
משפט בולצאנו-ויירשטראס באנליזה מתמטית קובע כי לכל סדרה אינסופית חסומה של נקודות ב- קיימת תת-סדרה מתכנסת. ניסוח אחר (ושקול) של המשפט קובע כי לכל קבוצה אינסופית חסומה של נקודות ב- קיימת נקודת הצטברות.
הרעיון האינטואיטיבי שעומד מאחורי המשפט הוא שאם קיימת קבוצה שיש בה אינסוף נקודות, והאיברים שלה לא יכולים "לברוח" רחוק מדי, לפחות חלק מהם אמורים להיות קרובים מאוד זה לזה. המשפט מראה בצורה קונסרקטיבית כיצד ניתן למצוא את הסדרה או נקודת ההצטברות המבוקשות, אך זו אינה דרך מעשית, מאחר שהיא מבוססת על תהליך אינסופי של חלוקת הקטע החסום לחלקים קטנים והולכים.
נושאים במתמטיקה
| |||
|---|---|---|---|
| כמות | אינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים | ||
| שינוי | אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית | ||
| מבנה | אלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים | ||
| מרחב | אלגברה ליניארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג | ||
| מתמטיקה בדידה | חישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים | ||
| יסודות ושיטות | לוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות | ||
| מתמטיקה יישומית | אופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית | ||
| עולם המתמטיקה | הוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט | ||
|
עריכהמבט על תחום נבחר
תורת המשחקים היא ענף של המתמטיקה והכלכלה המנתח מצבי עימות או שיתוף פעולה בין מקבלי החלטות בעלי רצונות שונים, כדוגמת המצבים המתעוררים במשחקי לוח שונים, בהם כל אחד מהשחקנים רוצה לנצח, ובפעילות כלכלית, בה כל אחד מהעוסקים שואף להגיע לרווח מקסימלי. מצבים כאלו מכונים משחקים, והמשתתפים בהם – שחקנים. חקירה של משחק מורכב מתאפשרת על ידי הפשטתו לאחד מכמה מודלים כלליים, הניתנים לניתוח מתמטי. המטרה היא "לפתור" את המשחק, כלומר, לזהות בו את דרכי הפעולה הצפויות של השחקנים או להצביע על דרכי פעולה מומלצות לשחקנים בודדים או לקבוצות של שחקנים. לניבוי נכון של התנהגות השחקנים עשויה להיות חשיבות מעשית רבה. בחירה נבונה של כללי הצבעה, למשל, צריכה להביא בחשבון את האפשרות של הצבעה טקטית (אסטרטגית), ותכנון של תשתית הכבישים צריך להביא בחשבון את בחירות המסלול של הנהגים בשעות העומס. שיטות ומושגים מתורת המשחקים תופסים מקום של כבוד בענפי הכלכלה השונים ובמנהל עסקים ומשמשים גם במדעי חברה אחרים, כמו מדע המדינה ופסיכולוגיה, וכן במשפטים. תורת המשחקים משמשת גם בענפי ביולוגיה שונים, בעיקר בחקר התנהגות ואסטרטגיות אבולוציוניות של יצורים חיים. בשנים האחרונות גובר העניין בתורת המשחקים במדעי המחשב. התפתחות זו קשורה לחשיבותם הגוברת של רשתות מחשבים, ובמיוחד רשת האינטרנט. בציבור הכללי, המודעות הגדלה לתורת המשחקים מתבטאת בחדירה של מושגים הלקוחים מתחום זה, כמו משחק סכום אפס, לשפה המדוברת. תרמו לכך כמה ספרים פופולריים שנכתבו בזמן האחרון, ובמיוחד "נפלאות התבונה", ביוגרפיה של המתמטיקאי ג'ון נאש, מחלוצי תורת המשחקים, שעובדה בשנת 2001 לסרט קולנוע מצליח. | |||
|
ערכים המחפשים עורכים  |
דיונים, ייעוץ ועזרה
|