[3]
^ (R. Hartshorne, Residues and Duality, Springer Lecture Notes. no. 20 (1966
^ .(B. Conrad, Grothendieck duality and base change, Springer Lecture Notes. no. 1750 (2000
^ טעות מהסוג הזה (אם-כי בהקשר שונה) ערתה ב[1] .טעות תוקנה רק כ3 עשורים מאוחר יתר ב[2] .
― הועבר לדף משתמש:Aizenr/טיוטה דף משתמש#הומולוגיה (מתמטיקה)
אוריינטציה היא מילה ממקור לטיני שמשמעויותיה המודרניות קשורות לכיוון .
האם התכוונתם ל...
פירושונים זהו דף פירושונים , שמטרתו להבחין בין ערכים שונים בעלי שם דומה.
אם לא מצאתם ברשימת הפירושונים את הערך שהתכוונתם אליו, נסו:
לכל
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
קיימת סביבה פתוחה
U
⊂
M
{\displaystyle U\subset M}
ומספר טבעי
k
{\displaystyle k}
כך ש
ϕ
(
U
)
{\displaystyle \phi (U)}
היא תת-קבוצה סגורה מקומית (אנ' ) והצמצום
ϕ
|
U
:
U
→
Y
{\displaystyle \phi |_{U}:U\to Y}
ניתן לפירוק
h
∘
i
{\displaystyle h\circ i}
כאשר
i
:
U
→
U
×
R
k
{\displaystyle i:U\to U\times \mathbb {R} ^{k}}
הוא השיכן הסטנדרטי ו
h
:
U
×
R
k
→
Y
{\displaystyle h:U\times \mathbb {R} ^{k}\to Y}
הוא הומיאומורפיזם לתמונה .
לכל
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
קיימת סביבה פתוחה
U
⊂
X
{\displaystyle U\subset X}
ומספר טבעי
k
{\displaystyle k}
כך ש
ϕ
(
U
)
{\displaystyle \phi (U)}
היא קבוצה פתוחה והצמצום
ϕ
|
U
:
U
→
ϕ
(
U
)
{\displaystyle \phi |_{U}:U\to \phi (U)}
ניתן לפירוק
p
∘
h
{\displaystyle p\circ h}
כאשר
h
:
U
→
ϕ
(
U
)
×
R
k
{\displaystyle h:U\to \phi (U)\times \mathbb {R} ^{k}}
הוא הומיאומורפיזם ו
p
:
ϕ
(
U
)
×
R
k
→
ϕ
(
U
)
{\displaystyle p:\phi (U)\times \mathbb {R} ^{k}\to \phi (U)}
הוא ההטלה .
א אימרסיה(אנ')
ϕ היא סובמרסיה
האנלוג של אימרסיה:
לכל
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
קיימת סביבה פתוחה
U
⊂
M
{\displaystyle U\subset M}
ומספר טבעי
k
{\displaystyle k}
כך ש
ϕ
(
U
)
{\displaystyle \phi (U)}
היא תת-קבוצה סגורה מקומית (אנ' ) והצמצום
ϕ
|
U
:
U
→
Y
{\displaystyle \phi |_{U}:U\to Y}
ניתן לפירוק
h
∘
i
{\displaystyle h\circ i}
כאשר
i
:
U
→
U
×
R
k
{\displaystyle i:U\to U\times \mathbb {R} ^{k}}
הוא השיכן הסטנדרטי ו
h
:
U
×
R
k
→
Y
{\displaystyle h:U\times \mathbb {R} ^{k}\to Y}
הוא הומיאומורפיזם לתמונה .
האנלוג של סובמרסיה:
לכל
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
קיימת סביבה פתוחה
U
⊂
X
{\displaystyle U\subset X}
ומספר טבעי
k
{\displaystyle k}
כך ש
ϕ
(
U
)
{\displaystyle \phi (U)}
היא קבוצה פתוחה והצמצום
ϕ
|
U
:
U
→
ϕ
(
U
)
{\displaystyle \phi |_{U}:U\to \phi (U)}
ניתן לפירוק
p
∘
h
{\displaystyle p\circ h}
כאשר
h
:
U
→
ϕ
(
U
)
×
R
k
{\displaystyle h:U\to \phi (U)\times \mathbb {R} ^{k}}
הוא הומיאומורפיזם ו
p
:
ϕ
(
U
)
×
R
k
→
ϕ
(
U
)
{\displaystyle p:\phi (U)\times \mathbb {R} ^{k}\to \phi (U)}
הוא ההטלה .
הוכחה
שגיאות פרמטריות בתבנית:להשלים פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים
w:en:Portal:Mathematics/Featured_picture/2013_01
{{w:en:Portal:Mathematics/Featured_picture/2013_01}}
מהסיבים (Fibers)
E
|
x
{\displaystyle E|_{x}}
של
E
{\displaystyle E}
(Closed Hypersurface )
משתמש:Aizenr
מיוחד:דפים מיוחדים
Chevalley, Claude (1958), Séminaire C. Chevalley, 1956--1958. Classification des groupes de Lie algébriques , Paris: Secrétariat Mathématique
Humphreys, James E. (1972), Linear Algebraic Groups , Graduate Texts in Mathematics, vol. 21, Springer-Verlag , Berlin, New York, ISBN 978-0-387-90108-4
Lang, Serge (1983), Abelian varieties , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90875-5
Milne, J. S., Affine Group Schemes; Lie Algebras; Lie Groups; Reductive Groups; Arithmetic Subgroups
Mumford, David (1970), Abelian varieties , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0
Springer, Tonny A. (1998), Linear algebraic groups , Progress in Mathematics, vol. 9 (2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7
Waterhouse, William C. (1979), Introduction to affine group schemes , Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90421-4
Weil, André (1971), Courbes algébriques et variétés abéliennes , Hermann, Paris
Brian, Dennis (1996), Einstein: A Life , New York: John Wiley & Sons, p. 127, ISBN 0-471-11459-6
― הועבר מהדף משתמש:Aizenr/טיוטה_דף_משתמש
― הועבר מהדף משתמש:Aizenr/טיוטה
במתמטיקה , הומולוגיה היא שם כללי למשפחה של אינווריאנטים של אובייקטים שונים מכמה תחומים. הומולגיות מוגדרות עבור מרחבים טופולוגיים , חבורות , קומפלקסי שרשרת ועוד אובייקטים קשורים.
עבור אובייקט
X
{\displaystyle X}
מסמנים את ההומולוגיה ה-
i
{\displaystyle i}
של
X
{\displaystyle X}
ב-
.
H
i
(
X
)
{\displaystyle .H_{i}(X)}
האינדקס
i
{\displaystyle i}
הוא מספר שלם וההומולוגיה היא, כמעט תמיד, חבורה אבלית . לעתים מוגדרים עליה גם מבנים נוספים.
כמעת בכל המקרים, ניתן להגדיר את מושג ההומולוגיה דרך מושג ההומולוגיה של קומפלקס שרשרת . הדרך האופיינית להגדרת ההומולוגיה של
X
{\displaystyle X}
היא תחילה להגדיר קומפלקס שרשרת
C
(
X
)
{\displaystyle C(X)}
ואז להגדיר
.
H
i
(
X
)
:=
H
i
(
C
(
X
)
)
{\displaystyle .H_{i}(X):=H_{i}(C(X))}
הגדרת הקומפלקס
C
(
X
)
{\displaystyle C(X)}
יחודית לכל סוג אובייקטים (מרחב טופולוגי, חבורה, וכו'). לכל אובייקט
X
{\displaystyle X}
בנית הקומפלקס
C
(
X
)
{\displaystyle C(X)}
אינה קנונית ותלויה בבחירות מסוימות, אבל התוצאה הסופית
H
i
(
X
)
{\displaystyle H_{i}(X)}
לא תלויה בבחירות אלו.
ניתן להעשיר את מושג ההומולוגיה על ידי הוספת מקדמים. לדוגמה עבור מרחב טופולוגי
X
{\displaystyle X}
וחבורה אבלית (או באופן כללי יותר אלומת חבורות אבליות מעל
X
{\displaystyle X}
)
G
{\displaystyle G}
ניתן להגדיר את ההומולגיה
H
i
(
X
,
G
)
{\displaystyle H_{i}(X,G)}
של
X
{\displaystyle X}
עם מקדמים ב-
.
G
{\displaystyle .G}
באופן דומה ניתן להגדיר הומולוגיה של חבורה
Γ
{\displaystyle \Gamma }
עם מקדמים בהצגה
V
{\displaystyle V}
של
.
Γ
{\displaystyle .\Gamma }
כמעט תמיד אפשר לראות במושג ההומולוגיה מקרה פרטי של מושג הפונקטור הנגזר .
― סוף העברה
― סוף העברה
― הועבר לדף משתמש:Aizenr/אוריינטציה#pics
⊔
{\displaystyle \sqcup }
x
2
+
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}
x
3
+
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{3}+y^{2}=z^{2}}
x
4
+
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{4}+y^{2}=z^{2}}
x
5
+
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{5}+y^{2}=z^{2}}
x
6
+
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{6}+y^{2}=z^{2}}
x
7
+
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{7}+y^{2}=z^{2}}
x
8
+
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{8}+y^{2}=z^{2}}
x
9
+
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{9}+y^{2}=z^{2}}
x
n
+
1
+
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{n+1}+y^{2}=z^{2}}
x
3
−
x
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{3}-xy^{2}=z^{2}}
x
4
−
x
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{4}-xy^{2}=z^{2}}
x
5
−
x
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{5}-xy^{2}=z^{2}}
x
6
−
x
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{6}-xy^{2}=z^{2}}
x
7
−
x
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{7}-xy^{2}=z^{2}}
x
n
−
1
−
x
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{n-1}-xy^{2}=z^{2}}
x
4
−
y
3
=
z
2
{\displaystyle x^{4}-y^{3}=z^{2}}
x
3
y
−
y
3
=
z
2
{\displaystyle x^{3}y-y^{3}=z^{2}}
x
5
−
y
3
=
z
2
{\displaystyle x^{5}-y^{3}=z^{2}}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
−
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+z^{2}=0}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
−
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1}
x
2
a
2
+
y
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{y^{2}}=0}
z
2
=
−
a
2
{\displaystyle z^{2}=-a^{2}}
z
2
=
a
2
{\displaystyle z^{2}=a^{2}}
z
2
=
0
{\displaystyle z^{2}=0}
y
z
=
0
{\displaystyle yz=0}
y
2
+
z
2
a
2
=
0
{\displaystyle y^{2}+{\frac {z^{2}}{a^{2}}}=0}
⋉
{\displaystyle \ltimes }
s
l
2
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}
s
l
3
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}}
s
l
4
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{4}}
s
l
5
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{5}}
s
l
6
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{6}}
s
l
7
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{7}}
s
l
8
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{8}}
s
l
9
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{9}}
s
l
n
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}
s
o
3
s
o
5
s
o
6
s
o
7
s
o
8
s
o
9
s
o
10
s
o
11
s
o
12
s
o
13
s
o
14
s
o
15
s
o
16
s
o
17
s
o
2
n
s
o
2
n
+
1
{\displaystyle {\mathfrak {so}}_{3}{\mathfrak {so}}_{5}{\mathfrak {so}}_{6}{\mathfrak {so}}_{7}{\mathfrak {so}}_{8}{\mathfrak {so}}_{9}{\mathfrak {so}}_{10}{\mathfrak {so}}_{11}{\mathfrak {so}}_{12}{\mathfrak {so}}_{13}{\mathfrak {so}}_{14}{\mathfrak {so}}_{15}{\mathfrak {so}}_{16}{\mathfrak {so}}_{17}{\mathfrak {so}}_{2n}{\mathfrak {so}}_{2n+1}}
s
p
2
{\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2}}
s
p
4
{\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{4}}
s
p
6
{\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{6}}
s
p
8
{\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{8}}
s
p
10
{\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{10}}
s
p
12
{\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{12}}
s
p
14
{\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{14}}
s
p
16
{\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{16}}
s
p
2
n
{\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}
s
p
2
s
p
4
s
p
6
s
p
8
s
p
10
s
p
12
s
p
14
s
p
16
s
p
2
n
{\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2}{\mathfrak {sp}}_{4}{\mathfrak {sp}}_{6}{\mathfrak {sp}}_{8}{\mathfrak {sp}}_{10}{\mathfrak {sp}}_{12}{\mathfrak {sp}}_{14}{\mathfrak {sp}}_{16}{\mathfrak {sp}}_{2n}}
S
U
2
(
R
)
{\displaystyle SU_{2}(\mathbb {R} )}
S
U
3
(
R
)
{\displaystyle SU_{3}(\mathbb {R} )}
S
U
4
(
R
)
{\displaystyle SU_{4}(\mathbb {R} )}
S
U
5
(
R
)
{\displaystyle SU_{5}(\mathbb {R} )}
S
U
6
(
R
)
{\displaystyle SU_{6}(\mathbb {R} )}
S
U
7
(
R
)
{\displaystyle SU_{7}(\mathbb {R} )}
S
U
8
(
R
)
{\displaystyle SU_{8}(\mathbb {R} )}
S
U
9
(
R
)
{\displaystyle SU_{9}(\mathbb {R} )}
S
U
n
(
R
)
{\displaystyle SU_{n}(\mathbb {R} )}
A
1
(
q
)
:=
P
(
S
L
2
(
F
q
)
)
;
q
>
3
{\displaystyle A_{1}(q):=P(SL_{2}(\mathbb {F} _{q}));q>3}
A
2
(
q
)
:=
P
(
S
L
3
(
F
q
)
)
{\displaystyle A_{2}(q):=P(SL_{3}(\mathbb {F} _{q}))}
A
3
(
q
)
:=
P
(
S
L
4
(
F
q
)
)
{\displaystyle A_{3}(q):=P(SL_{4}(\mathbb {F} _{q}))}
A
4
(
q
)
:=
P
(
S
L
5
(
F
q
)
)
{\displaystyle A_{4}(q):=P(SL_{5}(\mathbb {F} _{q}))}
A
5
(
q
)
:=
P
(
S
L
6
(
F
q
)
)
{\displaystyle A_{5}(q):=P(SL_{6}(\mathbb {F} _{q}))}
A
6
(
q
)
:=
P
(
S
L
7
(
F
q
)
)
{\displaystyle A_{6}(q):=P(SL_{7}(\mathbb {F} _{q}))}
A
7
(
q
)
:=
P
(
S
L
8
(
F
q
)
)
{\displaystyle A_{7}(q):=P(SL_{8}(\mathbb {F} _{q}))}
A
8
(
q
)
:=
P
(
S
L
9
(
F
q
)
)
{\displaystyle A_{8}(q):=P(SL_{9}(\mathbb {F} _{q}))}
A
n
(
q
)
:=
P
(
S
L
n
+
1
(
F
q
)
)
{\displaystyle A_{n}(q):=P(SL_{n+1}(\mathbb {F} _{q}))}
2
A
2
:=
P
(
S
U
3
(
F
q
)
)
;
q
>
2
{\displaystyle ^{2}A_{2}:=P(SU_{3}(\mathbb {F} _{q}));q>2}
2
A
3
:=
P
(
S
U
4
(
F
q
)
)
{\displaystyle ^{2}A_{3}:=P(SU_{4}(\mathbb {F} _{q}))}
2
A
4
:=
P
(
S
U
5
(
F
q
)
)
{\displaystyle ^{2}A_{4}:=P(SU_{5}(\mathbb {F} _{q}))}
2
A
5
:=
P
(
S
U
6
(
F
q
)
)
{\displaystyle ^{2}A_{5}:=P(SU_{6}(\mathbb {F} _{q}))}
2
A
6
:=
P
(
S
U
7
(
F
q
)
)
{\displaystyle ^{2}A_{6}:=P(SU_{7}(\mathbb {F} _{q}))}
2
A
7
:=
P
(
S
U
8
(
F
q
)
)
{\displaystyle ^{2}A_{7}:=P(SU_{8}(\mathbb {F} _{q}))}
2
A
8
:=
P
(
S
U
9
(
F
q
)
)
{\displaystyle ^{2}A_{8}:=P(SU_{9}(\mathbb {F} _{q}))}
2
A
n
:=
P
(
S
U
n
+
1
(
F
q
)
)
{\displaystyle ^{2}A_{n}:=P(SU_{n+1}(\mathbb {F} _{q}))}
P
(
S
p
i
n
3
(
F
q
)
)
{\displaystyle P(Spin_{3}(\mathbb {F} _{q}))}
P
(
S
p
i
n
4
(
F
q
)
)
{\displaystyle P(Spin_{4}(\mathbb {F} _{q}))}
P
(
S
p
i
n
5
(
F
q
)
)
{\displaystyle P(Spin_{5}(\mathbb {F} _{q}))}
P
(
S
p
i
n
6
(
F
q
)
)
{\displaystyle P(Spin_{6}(\mathbb {F} _{q}))}
P
(
S
p
i
n
7
(
F
q
)
)
{\displaystyle P(Spin_{7}(\mathbb {F} _{q}))}
P
(
S
p
i
n
8
(
F
q
)
)
{\displaystyle P(Spin_{8}(\mathbb {F} _{q}))}
P
(
S
p
i
n
9
(
F
q
)
)
{\displaystyle P(Spin_{9}(\mathbb {F} _{q}))}
P
(
S
p
i
n
n
(
F
q
)
)
{\displaystyle P(Spin_{n}(\mathbb {F} _{q}))}
N
:
0
,
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle \mathbb {N} :0,1,2,3,\dots }
C
c
∞
⊂
C
∞
⊂
C
n
⊂
C
⊂
L
l
o
c
∞
⊂
L
l
o
c
p
⊂
L
l
o
c
1
⊂
C
∗
⊂
C
−
∞
⊂
C
−
ω
{\displaystyle C_{c}^{\infty }\subset C^{\infty }\subset C^{n}\subset C\subset L_{loc}^{\infty }\subset L_{loc}^{p}\subset L_{loc}^{1}\subset C^{*}\subset C^{-\infty }\subset C^{-\omega }}
C
c
n
⊂
C
c
⊂
L
p
{\displaystyle C_{c}^{n}\subset C_{c}\subset L_{p}}
G
↷
X
{\displaystyle G\curvearrowright X}
G
(
F
)
↷
X
(
F
)
{\displaystyle G(F)\curvearrowright X(F)}
C
0
{\displaystyle C^{0}}
C
1
{\displaystyle C^{1}}
C
n
{\displaystyle C^{n}}
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
T
6
{\displaystyle T_{6}}
T
n
{\displaystyle T_{n}}
T
0
{\displaystyle T_{0}}
S
I
{\displaystyle S_{I}}
S
I
I
{\displaystyle S_{II}}
P
n
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
A
n
{\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}
f
∈
C
1
(
[
a
,
b
]
)
⇒
∃
x
∈
[
a
,
b
]
.
f
′
(
x
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
f
,
g
∈
C
1
(
[
a
,
b
]
)
⇒
∃
x
∈
[
a
,
b
]
.
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
f
∈
C
n
(
[
−
ε
,
ε
]
)
⇒
|
f
(
x
)
−
∑
k
=
0
n
−
1
f
k
(
0
)
k
!
x
k
|
≤
sup
x
∈
[
−
ε
,
ε
]
f
(
n
)
(
x
)
n
!
f
∈
C
(
[
a
,
b
]
)
⇒
f
(
[
a
,
b
]
)
⊃
[
f
(
a
)
,
f
(
b
)
]
{
x
∈
R
∪
±
∞
|
∀
ε
(
x
−
ε
,
x
+
ε
)
∩
{
a
n
}
=
∞
}
=
1
⇒
∃
lim
n
→
∞
a
n
∈
R
∪
±
∞
lim
n
,
m
→
∞
|
a
n
−
a
m
|
=
0
⇒
∃
lim
n
→
∞
a
n
f
∈
C
(
[
a
,
b
]
)
⇒
lim
δ
→
0
sup
|
x
−
y
|
<
δ
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
=
0
f
∈
C
1
(
[
a
,
b
]
)
,
x
∈
(
a
,
b
)
,
f
(
x
)
=
max
y
∈
[
a
,
b
]
f
(
y
)
⇒
f
′
(
y
)
=
0
f
∈
C
1
(
[
a
,
b
]
)
,
x
∈
(
a
,
b
)
,
f
′
(
x
)
≠
0
⇒
∃
(
f
|
x
−
ε
,
x
+
ε
)
−
1
f
,
g
∈
C
1
,
lim
f
=
lim
g
=
0
,
∞
⇒
lim
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
f
′
=
g
′
⇒
f
−
g
=
c
o
n
s
t
f
∈
C
(
[
a
,
b
]
)
,
∃
f
′
⇒
f
′
(
[
a
,
b
]
)
⊃
[
f
′
(
a
)
,
f
′
(
b
)
]
f
∈
C
(
[
a
,
b
]
)
⇒
∃
max
(
f
)
∃
∑
i
=
1
∞
|
a
n
|
⇒
∃
∑
i
=
1
∞
a
n
{\displaystyle f\in C^{1}([a,b])\Rightarrow \exists x\in [a,b].f'(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\quad \quad \quad f,g\in C^{1}([a,b])\Rightarrow \exists x\in [a,b].{\frac {f'(x)}{g'(x)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\quad \quad \quad f\in C^{n}([-\varepsilon ,\varepsilon ])\Rightarrow \left|f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{k}(0)}{k!}}x^{k}\right|\leq {\frac {\sup \limits _{x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}f^{(n)}(x)}{n!}}\quad \quad \quad f\in C([a,b])\Rightarrow f([a,b])\supset [f(a),f(b)]\quad \quad \quad \{x\in \mathbb {R} \cup \pm \infty |\forall \varepsilon (x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\cap \{a_{n}\}=\infty \}=1\Rightarrow \exists \lim _{n\to \infty }a_{n}\in \mathbb {R} \cup \pm \infty \quad \quad \quad \lim _{n,m\to \infty }|a_{n}-a_{m}|=0\Rightarrow \exists \lim _{n\to \infty }a_{n}\quad \quad \quad f\in C([a,b])\Rightarrow \lim _{\delta \to 0}\sup \limits _{|x-y|<\delta }|f(x)-f(y)|=0\quad \quad \quad f\in C^{1}([a,b]),x\in (a,b),f(x)=\max _{y\in [a,b]}f(y)\Rightarrow f'(y)=0\quad \quad \quad f\in C^{1}([a,b]),x\in (a,b),f'(x)\neq 0\Rightarrow \exists (f|_{x-\varepsilon ,x+\varepsilon })^{-1}\quad \quad \quad f,g\in C^{1},\lim f=\lim g=0,\infty \Rightarrow \lim {\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim {\frac {f'(x)}{g'(x)}}\quad \quad \quad f'=g'\Rightarrow f-g=const\quad \quad \quad f\in C([a,b]),\exists f'\Rightarrow f'([a,b])\supset [f'(a),f'(b)]\quad \quad \quad f\in C([a,b])\Rightarrow \exists \max(f)\quad \quad \quad \exists \sum _{i=1}^{\infty }|a_{n}|\Rightarrow \exists \sum _{i=1}^{\infty }a_{n}}
f
∈
C
1
(
[
a
,
b
]
)
,
f
(
a
)
=
f
(
b
)
⇒
∃
x
∈
[
a
,
b
]
.
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f\in C^{1}([a,b]),f(a)=f(b)\Rightarrow \exists x\in [a,b].f'(x)=0}
[
a
,
b
]
=
⋃
α
∈
I
U
α
⇒
[
a
,
b
]
=
⋃
i
=
1
n
U
α
i
{\displaystyle [a,b]=\bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }\Rightarrow [a,b]=\bigcup _{i=1}^{n}U_{\alpha _{i}}}
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
g
′
(
x
)
=
(
g
(
b
)
−
g
(
a
)
)
f
′
(
x
)
.
{\displaystyle (f(b)-f(a))g'(x)=(g(b)-g(a))f'(x).}
f
∈
C
1
(
[
a
,
b
]
)
,
x
∈
(
a
,
b
)
,
f
′
(
x
)
≠
0
⇒
∃
(
f
|
x
−
ε
,
x
+
ε
)
−
1
∈
C
1
(
f
(
[
x
−
ε
,
x
+
ε
]
)
)
{\displaystyle f\in C^{1}([a,b]),x\in (a,b),f'(x)\neq 0\Rightarrow \exists (f|_{x-\varepsilon ,x+\varepsilon })^{-1}\in C^{1}(f([x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]))}
∀
n
∈
N
.
∃
x
∈
R
.
x
>
n
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} .\exists x\in \mathbb {R} .x>n}
f
∈
C
n
(
[
0
,
x
]
)
⇒
∃
y
∈
[
0
,
x
]
.
|
f
(
x
)
−
∑
k
=
0
n
f
k
(
0
)
k
!
x
k
|
=
f
(
n
+
1
)
(
y
)
(
n
+
1
)
!
x
n
+
1
{\displaystyle f\in C^{n}([0,x])\Rightarrow \exists y\in [0,x].\left|f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(0)}{k!}}x^{k}\right|={\frac {f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}}x^{n+1}}
∑
n
=
1
∞
|
a
n
|
<
∞
⇒
∃
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty \Rightarrow \exists \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
∃
∑
i
=
n
∞
x
n
n
!
{\displaystyle \exists \sum _{i=n}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
∀
n
.
M
>
a
n
>
a
n
−
1
⇒
∃
lim
a
n
{\displaystyle \forall n.M>a_{n}>a_{n-1}\Rightarrow \exists \lim a_{n}}
f
′
≥
0
,
x
>
y
⇒
f
(
x
)
≥
f
(
y
)
{\displaystyle f'\geq 0,x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y)}
∃
∑
n
=
1
∞
|
a
n
|
⇒
∃
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \exists \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|\Rightarrow \exists \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
f
′
>
0
,
x
>
y
⇒
f
(
x
)
>
f
(
y
)
{\displaystyle f'>0,x>y\Rightarrow f(x)>f(y)}
כיתוב תמונה
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
,
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
,
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
,
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
,
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
,
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
,
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
,
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
,
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
,
תבנית:R
תבנית:E
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
משתמש:Aizenr/תבנית:QQ
{משתמש:Aizenr/תבנית:QQ|17}}
F
17
{\displaystyle \mathbb {F} _{17}}
Z
17
{\displaystyle \mathbb {Z} _{17}}
תבנית:Z
תבנית:F
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
x
∈
[
1900
,
2024
]
{\displaystyle x\in [1900,2024]}
x
∈
[
1900
,
2024
]
{\displaystyle x\in [1900,2024]}
תבנית:LaTeX
R
≥
0
{\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}
R
≥
0
{\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}
x
y
(
x
+
y
)
=
0
{\displaystyle xy(x+y)=0}
y
(
y
−
a
x
)
(
y
+
a
x
)
=
0
{\displaystyle y(y-ax)(y+ax)=0}
(
y
+
1
)
(
y
−
a
x
)
(
y
+
a
x
)
=
0
{\displaystyle (y+1)(y-ax)(y+ax)=0}
קישור
קישור עם כותרת אחרת
f
∈
C
[
X
]
{\displaystyle f\in \mathbb {C} [X]}
2
π
2
R
3
{\displaystyle 2\pi ^{2}R^{3}}
8
3
π
2
R
4
{\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi ^{2}R^{4}}